공학 시스템을 설계 및 구현을 할 때 항상 고려해야하는 사항 중에 한 가지가 공학 시스템의 작업 신뢰도 모형이다 [1]. 공학 시스템을 실세계에서 운영을 할 경우에 시스템을 조작하는 사람에 의한 오류, 시스템에 입력되는 자료의 불확실성, 다른 원인에 의한 시스템의 오동작 등에 의해 시스템이 출력한 결과를 정확하게 평가하거나 또는 분석하는 일이 어려워지게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 Singer [2]는 Zadeh [3]가 제안한 퍼지집합을 시스템의 신뢰도 평가에 적용한 연구를 하였다. 퍼지집합을 시스템의 신뢰도를 평가하는데 적용한 이후 다양한 퍼지집합을 신뢰도 평가에 적용하는 연구들이 발표되었다.

Zadeh가 제안한 퍼지집합은 소속정도(degree of membership)를 소속함수(membership function) μ_A(x) 로 표현한다 [3]. μ_A(x) ∈ [0, 1]. Turksen이 제안한 구간값 퍼지집합(interval Valued fuzzy set)은 소속정도를 구간 μALx,μAUx으로 표현한다 [4]. 여기에서 μALx와 μAUx)은 각각 구간의 최소 소속정도와 구간의 최대 소속정도이다. 0≤μALx≤μAUx≤1, μALx,μAUx⊆0,1. Atanassov가 제안한 직관 퍼지집합(intuitionistic fuzzy set)에서 소속정도는 믿음시스템(belief system)에서 증거를(evidence)을 지지하는 참 소속함수(truth membership function) μ_A(x)와 거짓 소속함수(falsity membership function) v_A(x)로 표현하여 불확실한 정보를 다루는 방법을 보여 주고 있다 [5]. μ_A(x), v_A(x) ∈ [0, 1], 0 ≤ μ_A(x) + v_A(x) ≤ 1. 증거에 대한 불확정(indeterminacy)의 기본값은 1 - μ_A(x) - v_A(x)이다. Gau 등은 소속정도를 구간으로 표현하는 모호 집합(vague set)을 제안하였다 [6]. Bustince 등은 Gau 등이 제안한 모호집합과 Atanassov가 제안한 직관 퍼지집합과는 수학적으로 동치라는 것이 밝혀졌다 [7]. Smarandache가 제안한 뉴트로소픽 집합(neutrosophic set)은 참 소속함수 T_A(x), 불확정 소속함수(indeterminacy-membership function) I_A(x) 그리고 거짓 소속함수 F_A(x)가 각각 독립적으로 존재하여 불확정성을 명시적으로 정량화할 수가 있다 [8].

다기준 의사결정(multicriteria decision making: MCDM)에서 기준 C_j에 대한 선택 x_i의 소속정도에 대한 선호도를 μCjχi로 표현한다. MCDM를 실제로 하는 과정에서 의사결정권자들은 기준 C_j를 만족하는 x_i의 정도를 제공하기도 하고 또한 기준 C_j를 만족하지 않는 x_i의 정도를 제공하기도 한다. 예를 들어 기준 C_j를 만족하는 선택 x_i의 정도를 3/2로 주고 기준 C_j를 만족하지 않는 선택 x_i의 정도를 1/2로 주면 0≤3/2+1/2≰1이 되므로 이러한 상황을 퍼지집합, 구간값 퍼지집합, 직관 퍼지집합 등으로 표현하기 어렵게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 Yager가 제안한 퍼지집합이 피타고라스 퍼지집합이다 [9-11].

본 논문에서는 MCDM에서 의사결정권자가 제공하는 선호도 μCjχi가 기존의 퍼지집합 등으로 처리가 어려운 경우에 사용할 수 있는 피타고라스 퍼지집합을 이용하여 의사결정 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2 장에서는 관련연구를 기술한다. 제 3 장에서는 피타고라스퍼지 집합에 대하여 간략하게 알아본다. 제 4 장에서는 피타고라스 퍼지집합을 이용한 시스템의 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하다. 마지막으로 제 5 장에서는 결론을 기술한다.

이 장에서는 시스템 신뢰도를 퍼지집합 등을 이용하여 평가하는 방법을 제안한 연구를 간단하게 소개한다 [2].

Singer 은 퍼지집합을 신뢰도 계산에 처음 적용하였다. 즉, L-R 퍼지 숫자를 이용하여 결함 트리(fault tree)의 사건 빈도수를 표현하고 이를 시스템 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다 [2]. Chen 은 신뢰도를 삼각 퍼지숫자로 표현하여 L-R 퍼지 숫자를 사용한 경우보다 신뢰도를 빠르게 계산하는 방법을 제안하였다 [12]. Kumar 등은 해양발전 플랜트의 신뢰도를 평가하기 위해 구간값 모호집합을 이용하는 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다 [13]. Wei 등은 구간값 사다리꼴 퍼지숫자의 무게중심과 기하거리를 반영하여 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다 [14]. Cho 는 시스템의 구성요소의 신뢰도와 구성요소의 중요도를 표현한 가중치를 구간값 모호집합으로 표현하여 시스템의 가중 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다 [15]. Fuh 등은 구간값 퍼지숫자의 최소 소속정도 μALx)의 크기를 λ로 조정하는 것이 가능한 수준 (λ, 1) 구간값 퍼지 숫자를 이용하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다 [16]. Komal 등은 LNG 수송선의 이중 연료 스팀 터빈 추진시스템의 신뢰도를 분석하는 데 삼각 퍼지숫자를 이용하였다 [17]. Cho는 불확정성을 정량적으로 표현할 수 있는 단일값 뉴트로소픽 집합을 이용하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 방업을 제안하였다 [18]. Sharma는 에어콘디션닝 시스템의 신뢰도를 분석하는 데 삼각 퍼지숫자와 사다리꼴 퍼지숫자를 이용하여 방법을 제안하였다 [19]. Cho은 시스템의 구성요소에 대한 신뢰도를 구간값 퍼지집합, 구간값 퍼지집합의 폭을 반영하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다 [20].

이 장에서는 피타고라스 퍼지집합을 이용하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안한다.

피타고라스 퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X ={x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합(universe of discourse)이라고 하자. X에서의 피타고라스 퍼지집합(Pythagorean fuzzy set: PFS) A는 다음과 같이 정의한다:

여기에서 μ_A(x):X → [0, 1]와 v_A(x):X → [0, 1]이고 각각 소속함수 및 비 소속정도함수이다. 그리고 소속함수의 제곱과 비 소속함수의 제곱의 합은 다음 식 (2)을 만족한다.

X에서 정의되는 불확정 정도(degree of indeterminacy)는 π_A(x)로 표기한다. 그리고 이 값은 다음과 같은 식으로 판단할 수 있다.

여기에서 π_A(x) ∈ [0. 1].

기존이 퍼지집합에서는 소속정도 μ_A(x)와 비소속정도 v_A(x)에 대한 값을 0과 1사이에 값을 가지도록 의사결정권자가 제공하게 된다. 이러한 경우 0 ≤ μ_A(x) + v_A(x) ≰ 1인 상황이 발생할 수가 있으므로 MCDM 과정을 진행하는 것이 어렵게 된다.

피타고라스 퍼지집합에서는 식 (2)와 같이 소속정도 μ_A(x)와 비소속정도 v_A(x)에 대한 각각의 제곱의 합이 0과 1사이에 값을 가지도록 정의가 된다. 그러므로 MCDM 과정을 진행하는 것이 가능하게된다.

예: 기준 C_j를 만족하는 선택 x_i의 정도를 3/2로 주고, 기준 C_j를 만족하지 않는 선택 x_i의 정도를 1/2로 주면 0≤3/2+1/2⪇1이 되므로 퍼지집합과 AIFS에서는 MCDM 과정을 진행하기 어렵게 된다. 그러나 피타고라스 퍼지 집합에서는 0≤3/22+1/22≰1가 되므로 MCDM 과정을 진행할 수가 있게 된다.

이 장에서는 피타고라스 퍼지집합에 기반을 둔 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안한다. 전체 시스템의 신뢰도는 시스템을 구성하는 구성요소(component)의 신뢰도를 기반으로 계산할 수가 있다.

순차 시스템은 <그림 1>과 같다. 전체 순차 시스템의 신뢰도를 R이라 하자. 그리고 P_i는 시스템의구성요소이며 R_i는 구성요소 P_i의 신뢰도라고 하자. 구성요소 P_i의 신뢰도 R_i를 피타고라스 퍼지집합으로 표현하면 R_i = <μ_A(x), v_A(x)>이 된다.

순차 시스템의 신뢰도 R은 다음과 같이 평가할 수 있다.

<그림 1>과 같은 순차시스템의 신뢰도는 소속정도 μ_A(x)의 min 값과 비 소속정도 v_A(x)의 max 값을 구하는 식 (4)와 같이 유도된다.

병렬 시스템은 <그림 1>과 같다. 전체 병렬 시스템의 신뢰도를 R이라 하자. 그리고 P_i는 시스템의 구성요소이며 R_i는 구성요소 P_i의 신뢰도라고 하자. 구성요소 P_i의 신뢰도 R_i를 피타고라스 퍼지집합으로 표현하면 R_i = <μ_A(x), v_A(x)>이 된다.

병렬 시스템의 전체 신뢰도 R다음과 같이 평가할 수 있다.

<그림 2>와 같은 병렬시스템의 신뢰도는 소속정도 μ_A(x)의 min 값과 비 소속정도 v_A(x)의 max 값을 구하는 식 (5)와 같이 유도된다.

예: 피타고라스 퍼지집합을 기반으로 시스템의 신뢰도를 평가하는 과정은 Singer가 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법으로 제안한 예를 사용하여 설명을 한다 [2].

두 대의 연마기계가 서로 인접해 있는 상태로 동작하고 있다고 가정하자. 이 기계들의 근처에 다가온 사람이 연마기계에서 나온 부스러기가 눈으로 들어가 다칠 수 있는 가능성은 얼마인가? 가장 위험한 사람은 기계를 조작하는 조작원으로 조작원들은 보안경을 착용할 의무가 있으나 종종 보안경을 착용하지 않는다. 그리고 기계근처로 재료로 사용할 물건들을 가져오는 사람들과 연마기계에서 만들어진 생산품 가져가는 사람들 그리고 다른 이유로 인해 연마기계근처에 오는 사람들도 위험하다. 이러한 상황에서 누군가가 다칠 수 있는 주요 사건에 대한 결함나무는 <그림 3>과 같이 구성할 수가 있다.

<표 1>은 사고에 영향을 주는 기본 사건을 보여 준다. 기호는 기본사건을 의미한다.

<그림 3>에서 ㅂ여주는 최종결과 X를 구하는 데 필요한 함수는 다음과 같다. μ_A(x)는 기준(기본사건)을 만족하는 소속정도이고 v_A(x)는 기준을 만족하지 않는 비 소속정도이다.

U = F + G + H,

V = C + D,

Z = E × U × V,

X = A + B + Z.

그러므로 다음과 같이 신뢰도를 구할 수 있다.

본 논문에서는 피타고라스 퍼지집합을 이용하여 퍼지 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다. 피타고라스 퍼지집합은 MCDM 과정에서 의사 결정권자가 제공하는 소속정도 μ_A(x)와 비소속 정도 v_A(x)에 대한 값이 0≤μAx+vAx≰1인 상황을 0≤μA2x+vA2x≤1로 해결할 수 있는 퍼지집합으로 MCDM 과정을 원활하게 진행하는 것이 가능하게 한다. 그러므로 피타고라스 퍼지집합을 이용하면 기존의 퍼지집합이 처리하지 못했던 MCDM 과정을 보다 더 유연하게 처리하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 것이 가능하게 된다.