공학시스템을 실세계에서 사용할 경우에 시스템의 설계 구현 시 고려하지 않은 운영하는 사람의 실수에 의한 오류, 입력 자료의 불확실성, 다른 여러 가지 원인에 의해 시스템이 오동작하게 되어 시스템이 출력한 결과를 정확하게 평가하거나 또는 분석하는 일이 어려워지게 된다. 이러한 문제를 다루는 분야가 작업 신뢰도 모형이다 [1].

이러한 불확실성과 모호함을 처리하는 데 사용하는 방법이 Zadeh가 제안한 퍼지집합 이론이다[2]. 소속 정도를 실수로 표현하는 퍼지집합의 문제점을 극복하기 위해 퍼지집합의 다양한 확장이 연구되었다. 다양한 퍼지집합의 확장으로는 구간값 퍼지집합(interval-valued fuzzy sets), 직관 퍼지집합(intuitionistic fuzzy sets), 모호집합(vague sets), 뉴트로소픽 집합(neutrosophic sets), 헤지턴트 퍼지집합(hesitant fuzzy sets), 피타고라스 퍼지집합(Pythagorian fuzzy sets), 인접쌍 퍼지집합(orthopair fuzzy sets), 등이 있다.

본 논문에서는 소속 정도를 표현하는 방법 중 하나인 구간(interval)을 일반화한 q-rung 인접쌍 퍼지집합(q-rung orthopair fuzzy sets: q-ROFSs)을 이용하여 퍼지 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법에대하여 제안을 한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2 장에서는 관련연구를 간략하게 설명한다. 제 3 장에서는 q-rung 인접쌍 퍼지집합에 대하여 간략하게 기술한다. 제 4 장에서는 q-rung 인접쌍 퍼지집합을 이용한 시스템의 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하다. 끝으로 제 5 장에서는 결론을 기술한다.

이 장에서는 퍼지집합을 이용하여 퍼지시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안한 연구에 대하여 간략하게 소개를 한다 [3-11].

Singer는 퍼지시스템의 신뢰도를 평가하기 위해 퍼지집합 이론을 처음으로 신뢰도 평가에 적용하였다. Singer는 L-R 퍼지 숫자를 이용하여 결함 트리(fault tree)에 나타나는 사건 빈도수를 표현하여 퍼지 시스템의 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다 [3]. Chen은 시스템의 신뢰도를 삼각 퍼지숫자로 표현하여 Singer의 L-R 퍼지 숫자를 사용하는 방법보다 시스템의 신뢰도를 빠르게 계산하는 개선된 방법을 제안하였다 [4]. Kumar 등은 해양발전 플랜트의 신뢰도를 평가하기 위해 구간값 모호집합을 이용하는 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다. 구간값 모호집합은 모호집합의 상한(upper degree of membership)과 하한(lower degree of membership)을 각각 구간으로 표현할 수 있게 확장한 퍼지집합의 한 종류이다 [5]. Cho는 시스템을 구성하는 구성요소의 신뢰도를 고려하여 전체 시스템의 신뢰도를 평가하기 위하여 구성요소의 중요도를 표현한 가중치를 구간값 모호집합으로 표현하여 전체 시스템의 가중 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다 [6]. Fuh 등은 수준(λ,1)구간값 퍼지숫자를 이용하여 퍼지시스템의 신뢰도를 계산하는 방법을 제안하였다. 수준 (λ,1)구간값 퍼지숫자는 구간으로 표현되는 소속 정도의 하한 즉, 최소 소속정도(μALx)의 크기를 λ로 조정하는 것이 가능하다. 이 방법은 기존의 구간을 표현하는 방법보다 하한을 유연하게 조정하는 것이 가능하게 된다 [7]. Cho는 구간으로 표현되는 소속 정도에 내재되는 불확정성(indeterminacy)을 정량적으로 명시적 표현할 수 있는 단일값 뉴트로소픽 집합을 이용하여 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다 [8]. Komal 등은 다양한 원천(source)에서 수집되고 불확실성이 포함된 자료를 사용하여 LNG 수송선의 이중 연료 스팀 터빈 추진시스템의 신뢰도를 분석하기 위해 삼각 퍼지숫자를 이용하는 방법을 제안하였다[9]. Sharma는 에어콘디션닝 시스템의 신뢰도인 퍼지 고장에 대한 평균시간(mean time to fuzzy failure)을 분석하기 위하여 삼각 퍼지숫자와 사다리꼴 퍼지숫자를 이용하여 방법을 제안하였다 [10]. Cho는 피타고라스 퍼지집합을 이용하여 퍼지시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다. 피타고라스 퍼지집합은 구간으로 표현되는 소속 정도의 참 소속정도와 거짓 소속정도의 합이 1 보다 커지는 경우의 문제를 해결하기 위해 각 소속 정도를 제곱하여 소속 정도들의 합이 1 이하가 되도록 표현한 퍼지집합이다 [11].

이 장에서는 기존의 퍼지집합을 간략하게 살펴보고, q-rung 인접쌍 퍼지집합(q-rung orthopair fuzzy sets: q-ROFSs)에 대하여 설명한다.

퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X = {x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합(universe of discourse)이라고 하자. X에서의 퍼지집합 S_F는 다음과 같이 정의한다 [1]:

여기에서 μ_A(x_i)∈ [0,1].

구간값 퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X = {x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합이라고 하자. X에서의 구간값 퍼지집합 S_I는 다음과 같이 정의한다 [12]:

여기에서  μSILxi, μSIUxi⊆0,1.  μSILxi∈0,1, μSIUxi∈0,1, 0≤ μSILxi≤μSIUxi≤1. μSILxi는 구간의 하한이고  μSIUxi는 구간의 상한이다.

직관 퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X = {x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합이라고 하자. X에서의 구간값 퍼지집합 S_i는 다음과 같이 정의한다[13]:

여기에서  μSixi, νSixi⊆0,1,  μSixi∈0,1, ∈0,1,  νSixi∈0,1, 0≤ μSixi≤νSixi≤1. μSixi는 믿음시스템(belief system)에서 증거(evidence)를 지지(support)하는 참 소속함수(truth membership function)이고 νSixi는 증거에 반(against)하는 거짓 소속함수(falsity membership function)이다.

모호집합: Gau 등이 제안한 모호집합 [14]은 Bustince 등이 수학적으로 동치라고 증명하여 설명을 생략한다 [15].

단일값 뉴트로소픽 집합: X가 점(point)의 공간(space)이라고 하자. 점은 X에 있는 일반 원소(generic element)로 x로 표기한다. X에서의 단일값 뉴트로소픽 집합 S_N는 다음과 같이 정의한다 [16]:

여기에서 TSNxi, ISNxi, FSNxi ∈ 0,1. TSNxi는 참 소속함수이고 ISNxi는 불확정 소속함수(indeterminacy-membership function)이며 FSNxi는 거짓 소속함수이다.

단일값 뉴트로소픽 집합의 여집합: 단일값 뉴트로소픽 집합 S_N의 여집합을 c(S_N)으로 표기하자. 각 소속함수의 여집합은 다음과 같다:

헤지턴트 퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X ={x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합이라고 하자. X상의 헤지턴트 퍼지집합 S_H는 함수 HSHxi로 이 함수를 X에 적용할 때 [0,1]의 유한한 부분집합을 되돌려 주는 함수이다. X에서의 헤지턴트(hesitant) 퍼지집합 S_H는 다음과 같이 정의한다 [17]:

여기에서 HSHxi는 집합 S_H에 대해 원소 x_i∈X가 가질 수 있는 가능성이 있는 [0,1]에 있는 어떤값들의 집합이다. Xia 등은 h=HSHxi를 헤지턴트 퍼지 원소(hesitant fuzzy element)라고 명명하였고. 그리고 H는 모든 헤지턴트 퍼지원소의 집합이다[18].

피타고라스 퍼지집합: 공집합이 아닌 집합 X = {x₁, x₂, …, x_n}를 전체집합이라고 하자. X에서의 피타고라스 퍼지집합 S_P는 다음과 같이 정의한다[19]:

여기에서 μSPxi∈0,1, νSPxi∈0,1.그리고 참 소속함수의 제곱과 거짓 소속함수의 제곱의 합은 다음 식을 만족해야 한다.

X에서 정의되는 불확정 정도(degree of indeterminacy)는 πSPx로 표기한다. 그리고 이 값은 다음과 같은 식으로 판단할 수 있다.

여기에서 πSPx∈0,1.

인접쌍 퍼지집합: 만일 a, b ∈ [0,1]이고

이면 인접쌍(orthopair) <a, b>는 q-rung 순서쌍 소속 정도(q-rung orthopair membership degrees: q-ROMDs))이다 [20]. 여기에서 q ≤ 1.

만일 q = 1이면 <a, b>는 직관 퍼지숫자 [21] 또는 직관 퍼지 값이 된다. 그리고 만일 q = 2이면<a, b>는 피타고라스 퍼지 숫자가 [22, 23] 된다.

인접쌍 퍼지집합의 연산: a = <a₁,a₂> 그리고 b = <b₁,b₂>가 두 개의 q-ROMDs이라고 하자. a와 b 사이의 더하기와 곱하기 연산은 다음과 같이 주어진다 [24]:

 a1q+b1q-a1qb1q1/q=1-1-a1q1-b1q1/q∈0,1이고 a1q+b1q-a1qb1q+a2qb2q=1-1-a1q1-b1q+a2qb2q≤1 이므로 a⊕b와 a⊗b는 q-ROMD이다. ac⊕bcc=a⊗b이고 ac⊗bcc=a⊕b이다. 이것은 ⊕과 ⊗이 보수연산(complement)에 대해 양면성(dual)이 있다는 것을 말한다.

q-ROMD a = <a₁,a₂>라고 하자. 임의의 양의 정수 n에 대해 na=a⊕a⊕⋯⊕a(n번 반복)로 표기할 때 이 식의 일반식은 다음과 같다:

유사하게 q-ROMD a = <a₁,a₂>라고 하자. 임의의 양의 정수 n에 대해 an=a⊗a⊗⋯⊗a(n번 반복)로 표기할 때 이 식의 일반식은 다음과 같다:

a = <a₁,a₂> 그리고 b = <b₁,b₂>가 두 개의 q-ROMDs이라고 하자. a와 b사이의 빼기와 나누기 연산은 다음과 같이 주어진ek[24]:

만일 a = 1 이면 식 (17)은 다음과 같이 유도된다:

식 (19)를 만족하기 위해서는 b = 1인 경우만 가능하게 된다. 그러므로 a = 1 인 경우 빼기는 다음과 같이 계산한다.

이 장에서는 q-ROMD을 기반으로 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안한다. 전체 시스템의 신뢰도는 시스템을 구성하는 구성요소(component)의 신뢰도를 기반으로 계산할 수가 있다. 시스템의 구성요소는 순차 하위 시스템과 병렬 하위시스템으로 구성되므로 각각의 하위 시스템에 대한 신뢰도를 구하면 전체 시스템의 신뢰도를 평가할 수가 있다.

순차 시스템은 <그림 1>과 같다. 전체 순차 시스템의 신뢰도를 R이라 하자. 그리고 P_i는 시스템의 구성요소이며 R_i는 구성요소 P_i의 신뢰도라고 하자. 구성요소 P_i의 신뢰도를 q-ROMD으로 표현하면 R_i = <a_i₁,a_i₂>이 된다.

순차 시스템의 신뢰도 R은 다음과 같이 평가할 수 있다.

<그림 1>과 같은 순차시스템의 신뢰도는 식 (16)에 의해 식 (21)로 유도된다.

병렬 시스템은 <그림 1>과 같다. 전체 병렬 시스템의 신뢰도를 R이라 하자. 그리고 P_i는 시스템의 구성요소이며 R_i는 구성요소 P_i의 신뢰도라고 하자. 구성요소 P_i의 신뢰도 R_i를 q-ROMD으로 표현하면 R_i= <a_i₁,a_i₂>이 된다.

병렬 시스템의 전체 신뢰도 R다음과 같이 평가할 수 있다.

<그림 2>와 같은 병렬시스템의 신뢰도는 식(16)과 식 (20)에 의해 식 (22)로 유도된다.

본 논문에서는 q-rung 순서쌍 퍼지집합(q-rung orthopair fuzzy sets)을 이용하여 퍼지 시스템의 신뢰도를 평가하는 방법을 제안하였다. q-rung 순서쌍 퍼지집합은 소속 정도를 구간으로 표현하는 여러 가지 퍼지 집합들 중에서 직관 퍼지집합과 피타고라스 퍼지집합을 일반화한 퍼지집합의 한 종류이다. 그러므로 q-rung 순서쌍 퍼지집합을 이용하여 퍼지 시스템의 신뢰도를 평가하게 되면 신뢰도를 평가하는 기존의 접근법보다 더 유연하고 다양한 분석을 가능하게 된다.